PROBLEMA 300 + 25

XLVIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA ESPANYOLA

Bet surt d’excursió quan les manetes del seu rellotge estan juntes entre les 8 y les 9 i arriba  a la seva destinació entre les 2 i les 3, quan les manetes formen un angle de 180 graus . Quant va durar aquesta excursió?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 24

LII Olimpiada Matemàtica Espanyola . Fase local

Per ingressar en un club cada soci nou , com a quota d’inscripció,ha de pagar a cada membre del club un euro més la quantitat total que aquest va haver de pagar per al seu ingrés. Si el primer soci va pagar un euro, quina quantitat haurà de pagar per ingressar el soci que fa vint? . I  l’n-èsim soci?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 23

Fase local Olimpíada Matemàtica Espanyola  2014-2015

Un campionat de bàsquet s’ha jugat pel sistema de lliga a dues voltes (cada parell d’equips s’enfronten dues vegades) i sense empat (si el partit acaba empatat hi ha pròrrogues fins que un guanya). El guanyador del partit se’n duu 2 punts i el perdedor 1 punt. Al final del campionat, la suma dels punts obtinguts per tots els equips tret del campió és de 2015 punts. Quants partits ha guanyat el campió?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 22

LI Olimpíada Matemàtica Espanyola  Fase local 

Entorn d’una taula circular estan assegudes sis persones . Cada una porta un barret. Entre cada dues personas hi ha una mampara de forma  que cada persona pot veure els barrets de les tres persones que té enfront, però no pot veure el de la persona de la seva esquerra ni el seu ni el de la persona de la seva dreta.Tots saben que tres dels barrets són blancs i els altres tres negres. També saben que cada un d’ells és capaç de produir qualsevol deducció lògida factible. Començam per una de les sis persones i li demanam ”pots deduir el color d’algun capell dels que no veus?”. Un cop ha respost (tots han sentit la resposta), passam a la persona de la seva esquerra i li fem la mateixa  pregunta, i així successivament. Demostra que una de les tres primeres respondrà ”Sí”.

ajuda i solució

PROBLEMA 300+21

Olimpíada Matemàtica Espanyola fase local 2011 

Saber quina és la darrera xifra de 2009 ²⁰¹¹ és molt fàcil, però ,quants zeros precedeixen aquesta darrera xifra?

(hem d’entendre quants zeros hi ha entre aquesta darrera xifra i l’anterior no nul·la)

ajuda i solució

PROBLEMA 300+20

Criptaritme d’una multiplicació:

 X  L  I  V

             X

C  D  X  L

Cada lletra representa un dígit. Lletres iguals representen xifres iguals i lletres diferents representen xifres diferents.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 19

Olimpíada Matemàtica Espanyola 1994

Una oficina de Turisme realitza una enquesta sobre el nombre de dies de sol i de pluja que hi ha a l’any. Rep dades no gaire precises de sis llocs les quals estan recollides a la taula següent: 

Lloc	Sol o pluja	Inclassificables
A	336	29
B	321	44
C	335	30
D	343	22
E	329	36
F	330	35

La persona encarregada de l’enquesta té dades més detallades. S’adona que la seva observació més fiable dóna un nombre de dies plujosos que és un terç del nombre de dies de sol i que, prescindint d’un dels llocs, podrà quadrar les dades de la taula amb les seves . Raona de quin lloc hauria de prescindir per aconseguir-ho.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 18

LI Olimpíada Matemàtica Espanyola

En una reunió hi ha diferents persones. S’hi afegeix Alícia i la mitjana d’edat augmenta en 4 anys. Posteriorment s’incorpora Beatriu, germana bessona d’Alícia, i la mitjana d’edat torna augmentar, però en aquest cas tan sols en 3 anys. Quantes persones hi havia a la reunió abans d’entrar Alícia?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 17

Olimpíada Matemàtica Espanyola  fase local 2003

Per torn, en ordre alfabètic, tres amics llancen un dau. Qui tregui  primer un 6 guanya la quantitat apostada. 

Per cada euro que jugui Carles, quines quantitats han d’apostar  Aina y Blai per equilibrar el joc i fer-lo  equitatiu ( de manera que les expectatives de guany siguin les mateixes per a tots tres i no es vegin afectades per l’ordre d’actuació quan llancen el dau? )

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 16

Elegim aleatòriament dos nombres reals entre 0 i 1. Calcula la probabilitat del fet “un qualsevol d’ells és major que el quadrat de l’altre”

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 15

XXIX Olimpíada Matemàtica Espanyola (1992-1993)

En una reunió hi ha 201 persones de 5 nacionalitats diferents. Sabem que, en cada grup de 6, al menys 2 tenen la mateixa edat. Demostra que hi ha al menys 5 persones del mateix  país, de la mateixa edat y del mateix sexe.

ajuda i solució

PROBLEMA 300 +14

XXXVI Olimpíada Matemàtica Espanyola (1999-2000)

Demostra que no existeix cap funció  f : N → N 
complint  f(f(n)) = n+1

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+13

III Olimpíada Matemàtica Espanyola (1965-66)

A un fabricant de tres productes els preus dels quals són 50, 70 i 65 € la unitat , el venedor detallista li’n demana un total de 100 unitats, pagant per elles 6850€ , amb la condició que enviï el major nombre possible d’unitats del producte més car i la resta dels altres dos. Quantes unitats de cada producte haurà d’enviar per servir la comanda així com ha estat feta?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+12

Els nombres enters de l’1 fins al 9 són distribuïts a les caselles d’una taula 3 × 3 . Després sumam sis números de tres xifres: els tres llegits  en files d’esquerra a dreta i els tres que es llegeixen en columnes de dalt a baix.

Existeix  alguna disposició que doni 2018 com a resultat d’aquesta suma?

Segurament convendrà provar amb un parell d'exemples...

ajuda i solució

PROBLEMA 300+11

Un joc que voldríem tan sols pertanyent al món de la ficció és el de la ruleta russa. Entrem-hi com a personatges de novel·la.

Tenim un revòlver amb un tambor per a sis bales.

1) Aleatòriament carregam el tambor amb una sola bala. Apuntam a la templa, disparam i seguim vius. Volem continuar. Quina estratègia és millor: Fer rodar el tambor abans de fer el segon dispar, o deixar el tambor com estava i disparar. (S'entén que el resultat desitjat és salvar la vida)

2) Aleatòriament carregam el tambor amb dues bales que col.locam en recambres consecutives. Apuntam a la templa, disparam i seguim vius. Volem continuar. Quina estratègia és millor: Fer rodar el tambor abans de fer el segon dispar, o deixar el tambor com estava i disparar. (S'entén que el resultat desitjat és salvar la vida)

ajuda i solució

Problema 300 + 10

Què diu aquest text?

Totes les vocals estan codificades mitjançant la mateixa vocal

Els apòstrofs i guionets són això mateix, apòstrofs i guionets

E h´deke ze kevehzke mkexhewev ev yekpe he zeme nee be kebekelyee e hev wevneev: de de wehpev walekev ze veheyeelek-hev.Le bel behpe ckelv yeleetewelpv ; vel wev ewmekpelpv hev celev e he fehelpep. El el wel yew h’eypeeh vel ewmekpelpv he yemekkezeve, he ykeepefepep ,he elpeeyee e eh vexek-ve felzke el wepeet, veh e ewx h’eqeze z’ehpke. He keveheyee ze mkexhewev wepewepeyv vekfeet z’elpkelewelp mek wehhekek hev pkes yelzeyeelv mkewekev. He neekpe keneekeet defek levyep ewx ele welpehepep wev mkeypeye, le pel mhepeleye yew he nee ceezew he weqekee zehv ebeyeelepv e he wepewepeye.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 9

Isa té 30 varetes, de llargades enteres i diferents, entre 1 y 30 cm. N’agafa tres , de llargades 3 cm, 7 cm y 15 cm ,i les col·loca damunt d’una taula. Ha d’elegir una quarta per formar amb les quatre un quadrilàter. Quantes de les 27 restants pot elegir?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 8

Problema 300 + 8 (Proposat a les proves Cangur 2018 nivell 4)

Una fila  de fitxes de dòmino està bé si els punts de cada costat de les fitxes adjacents coincideixen.En Pau va fer aquesta fila de 6 fitxes de dòmino. Quin és el nombre més petit de moviments que ha de fer per posar la fila bé?

(Es consideren dos tipus de moviments vàlids: l’intercanvi de dues fitxes sense girar-les o bé el gir d’una d’elles sense canviar-la de lloc) 

ajuda i solució

Problema 300 + 7

Problema 300 + 7 (proposat a les proves Cangur 2018 nivell 3)

En un dia determinat, 40 trens van viatjar entre dues de les ciutats M , N , O , P i Q 

-10 trens van començar el viatge a M o bé el van acabar a M.

-10 trens van començar el viatge a N o bé el van acabar a N.

-10 trens van començar el viatge a O o bé el van acabar a O.

-10 trens van començar el viatge a P o bé el van acabar a P.

Quants trens van començar el viatge a Q o bé el van acabar a Q ?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 6

Sobre una taula tenim 13 bombetes enceses i uns interruptors que ens permeten apagar una sola bombeta o dues contigües. A elegir

Dos amics juguen : apaguen llums alternativament i guanyarà qui apagui el darrer.

Elabora , si pots, una estratègia guanyadora per a algun dels jugadors.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 5

(Matemàtiques 1 , Anaya Illes Balears)

Quatre amigues (Alícia , Rosa , Carme i Mercè) se’n van al parc d’atraccions amb altres quatre amics (Pau , Lluís, Carles i Ramon).

Al llarg de la jornada, les quatre nines i els quatre nins han muntat cada un una vegada en les atraccions següents: muntanya russa, barques, casa del terror i catifa màgica: A més a més, sempre munten un nin i una nina junts a cada atracció. A la sortida comenten:

ALÍCIA: M’ho he passat millor a la muntanya russa amb en Pau que a les barques amb en Lluís.

ROSA: Quan he muntat a  la muntanya russa amb en Carles , s’ha espatllada i hem quedat aturats una estona.

CARME: En Ramon m’ha donat un bon esglai a la casa del terror.

MERCÈ: Idò jo no torn entrar a la cas del terror amb en Pau.

Com s’han format les parelles en pujar a la catifa màgica?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 4

(Matemàtiques 2 , Anaya Illes Balears)

En un camp quadrat de 35 metres de costat introduïm 26 ovelles perquè pasturin. Demostra que sempre n’hi ha almenys dues que estan a menys de 10 metres una de l’altra.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 3

(Matemàtiques 2 , Anaya Illes Balears)

Adrià i Carme diuen sempre la veritat, excepte el dia del seu aniversari: cada un menteix sobre el seu aniversari el dia del seu aniversari. El 2 de novembre se’ls pregunta als dos sobre el dia del seu aniversari. N’Adrià respon “va ser ahir”; i na Carme , ”serà demà”. L’endemà se’ls torna a fer la mateixa pregunta i les seves respostes són les mateixes que el dia anterior. Esbrina quin dia és l’aniversari de cada un dels dos.

AJUDA I SOLUCIÓ